题目
题型:不详难度:来源:
(1)求f(-1)及f(2)的值;
(2)试探求对一切整数n,f(n)是否一定是整数?并证明你的结论.
答案
解析
(2)先用数学归纳法证明,对一切正整数n,f(n)是整数.
①当n=1时,f(1)=1,结论成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N)时,结论成立,即f(k)=k5+k4+k3-k是整数,则当n=k+1时,f(k+1)=(k+1)5+(k+1)4+(k+1)3-(k+1)
=+
+-(k+1)=f(k)+k4+4k3+6k2+4k+1.
根据假设f(k)是整数,而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数.
∴f(k+1)是整数,从而当n=k+1时,结论也成立.
由①、②可知对一切正整数n,f(n)是整数.
(Ⅰ)当n=0时,f(0)=0是整数
(Ⅱ)当n为负整数时,令n=-m,则m是正整数,由(Ⅰ)知f(m)是整数,
所以f(n)=f(-m)=(-m)5+(-m)4+(-m)3-(-m)
=-m5+m4-m3+m=-f(m)+m4是整数.
综上,对一切整数n,f(n)一定是整数.
核心考点
举一反三
A.n=1时成立 | B.n=2时成立 |
C.n=3时成立 | D.n=4时成立 |
A.n=k+1时命题成立 |
B.n=k+2时命题成立 |
C.n=2k+2时命题成立 |
D.n=2(k+2)时命题成立 |
A.6+6·7k | B.2+7k-1 |
C.2(2+7k+1) | D.3(2+7k) |
A.18 | B.36 | C.48 | D.54 |
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