题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。
（1）求证：数列{a_n}是递减数列，数列{b_n}是递增数列；
（2）求证：a_n+1-b_n+1＜；
（3）是否存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由。

答案

解：（1）证明：易知对任意n∈N*，a_n>0，b_n>0
由a≠b，可知，即a₁>b₁
同理，，即a₂>b₂
可知对任意n∈N*，a_n>b_n

所以数列{a_n}是递减数列

所以数列{b_n}是递增数列。
（2）证明：
。
（3）由
可得
若存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C，
则对任意n∈N*，
即对任意n∈N*成立，
即对任意n∈N*成立，
设[x]表示不超过x的最大整数，
则有
即当时，
与对任意n∈N*成立矛盾
所以，不存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|a_n-b_n|>C。