题目

题型：重庆市期末题难度：来源：

给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x²﹣mf（x），，已知g（x）在x=1处取极值．
（1）求m的值及函数h（x）的单调区间；
（2）求证：当x∈（1，e²）时，恒有＞x成立．

答案

解：（1）由题设g（x）=x²﹣mlnx，则，
由已知g′（1）=0，即2﹣m=0，则m=2，
于是，则，
当＞0时，x＞1，
当＜0时，0＜x＜1，
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数．
（2）当x∈（1，e²）时，0＜lnx＜2，即0＜f（x）＜2，
欲证，只需证x[2﹣f（x）]＜2+f（x），
即证f（x）．
设F（x）=f（x）﹣=lnx﹣，
则=，
当1＜x＜e²时，F′（x）＞0，
∴F（x）在区间（1，e²）上为增函数，
从而当x∈（1，e²）时，F（x）＞F（1）=0，
即f（x）＞，
故．