题目

题型：四川省模拟题难度：来源：

已知数列{a_n}各项均不为0，其前n项和为S_n，且对任意n∈N*都有（的常数），记．
(Ⅰ) 求a_n；
(Ⅱ)求；
(Ⅲ)当时，设，求数列的前n项和．

答案

解：(1) ∵（1-p）S_n=p-pa_n，   ①
∴（1-p）S_n+1=p-pa_n+1．②
②－①，得（1-p）a_n+1=-pa_n+1+pa_n，
即a_n+1=pa_n
在①中令n=1，可得a₁=p．
∴{a_n}是首项为a₁=p，公比为p的等比数列，a_n=pⁿ．
(2) 由题意知，   时，
由(1)可得．
．∴，
．   
=，
所以                  
（3）由(2)可得，
又，
所以.