题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）某工厂用万元钱购买了一台新机器，运输安装费用千元，每年投保、动力消耗的费用也为千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为千元，第二年为千元，第三年为千元，依此类推，即每年增加千元．
（Ⅰ）求使用年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S（千元）关于的表达式；
（Ⅱ）问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小值．(最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）÷机器使用的年数 )

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）最佳年限是12年，平均费用为15．５千元

解析

试题分析：(Ⅰ)由题易知其费用成等差数列，                                   ……2分
所以                                         ……5分
(Ⅱ)设使用年的年平均费用为，则  
                                           ……10分
当且仅当时，取等号，取最小值 ，                                   ……11分
故最佳年限是12年，平均费用为15．５千元.                                  ……12分
点评：根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式就可求得函数的最值，但是一定要注意在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解.