题目

题型：不详难度：来源：

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.
已知函数的反函数.定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“积性质”.
（1）      判断函数是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）      求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）      设函数对任何，满足“积性质”.求的表达式.

答案

（1）函数的反函数是，
 ，
而 ，其反函数为
故函数不满足“1和性质”             …… 4分
(2)设函数满足“2和性质”，.
,         …… 6分
而，得反函数，…… 8分
由“2和性质”定义可知对恒成立.
即所求一次函数.    ……10分
（3）设且点图像上，则在函数
图像上，
故   可得，        ……12分
令，.  ……14分
综上所述，此时其反函数是，
而故互为反函数.      ……16分

解析

⑴分别求出的反函数和，然后对照，如果解析式相同，就满足“1和性质”，否则，不满足；
⑵知道函数的类型为一次函数，可用待定系数法设出函数解析式，因为满足“2和性质”，建立方程，求出参数的值；
⑶设出函数图象上任意一点A，根据反函数的性质，A关于直线y=x对称的点在其反函数图象上，进行计算和代换.