题目

题型：不详难度：来源：

将直径为的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比（强度系数为，）．要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽应是____________

答案

解析

分析：据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比（强度系数为k，k＞0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值。
解答：
设断面高为h，则h²=d²-x²，
横梁的强度函数f（x）=k?xh²，
所以f（x）=kx?（d²-x²），0＜x＜d。（5分）
当x∈（0，d）时，令f′（x）=k（d²-3x²）=0。
解得x=±（舍负）。
当0＜x＜时，f′（x）＞0；
当＜x＜d时，f′（x）＜0。
因此，函数f（x）在定义域（0，d）内只有一个极大值点x=。
所以f（x）在x=处取最大值，就是横梁强度的最大值。
即当断面的宽为时，横梁的强度最大。
点评：考查据实际意义建立相关的函数，再根据函数的特征选择求导的方法来求最值。