题目
题型:不详难度:来源:
对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间[],使在[]上的值域为[];那么把()叫闭函数.
(1)求闭函数符合条件②的区间[];
(2)判断函数是否为闭函数?并说明理由;
(3)若函数是闭函数,求实数的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)根据y=-x3的单调性,假设区间为[a,b]满足,求a、b的值.
(2)取一特殊值x1=1,x2=10,代入验证不满足条件即可证明不是闭函数.
(3)根据闭函数的定义,得到a,b,k的关系式,然后转换为方程有两个不等的实数根来得到参数的范围。
解:
(1)由题意,在[]上递减,则解得
所以,所求的区间为[-1,1]..............................................2分
(2)
取则,
即不是上的减函数。
取,
即不是上的增函数,
所以,函数在定义域内不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数。.............4分
(3)若是闭函数,则存在区间[],在区间[]上,函数的值域为[],即,为方程的两个实根,
即方程有两个不等的实根。
当时,有,解得。...............................7分
当时,有,无解。........................................10分
综上所述,....................................12分
点评:解决该试题的关键是理解闭函数的概念,并能结合所学知识,转换为不等式以及对应的函数关系式。
核心考点
试题【(本小题满分12分)对于定义域为D的函数,若同时满足下列条件:①在D内单调递增或单调递减;②存在区间[],使在[]上的值域为[];那么把()叫闭函数.(1)求闭】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.①③ | B.①④ | C.②③ | D.②④ |
(Ⅰ)若某时期美元贬值指数,为确保企业实际所得加工费随的增加而增加,该企业加工产品订单的金额应在什么范围内?
(Ⅱ)若该企业加工产品订单的金额为万美元时共需要的生产成本为万美元,已知该企业加工生产能力为(其中为产品订单的金额),试问美元的贬值指数在何范围时,该企业加工生产将不会出现亏损.
(Ⅰ)令,讨论的单调性;
(Ⅱ)关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;
(Ⅲ)对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界线”.设,,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.
A.恒为负 | B.等于零 | C.恒为正 | D.不小于零 |
(1)是否存在实数使函数f(x)为奇函数?证明你的结论;
(2)用单调性定义证明:不论取任何实数,函数f(x)在其定义域上都是增函数;
(3)若函数f(x)为奇函数,解不等式.
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