题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数的解析式和值域;
(2)证明:当时,数列在该区间上是递增数列;
(3)已知,是否存在非零整数,使得对任意,都有
恒成立,若存在,求之;若不存在,说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)这是一个不等式恒成立问题,把不等式转化为恒成立,那么这一定是二次不等式,恒成立的条件是可解得,从而得到的解析式,其值域也易求得;(2)要证明数列在该区间上是递增数列,即证,也即,根据的定义,可把化为关于的二次函数,再利用,可得结论;(3)这是一道存在性问题,解决问题的方法一般是假设存在符合题意的结论,本题中假设存在,使不等式成立,为了求出,一般要把不等式左边的和求出来,这就要求我们要研究清楚第一项是什么?这个和是什么数列的和?由,从而,
,不妨设,则(),对这个递推公式我们可以两边取对数把问题转化为,这是数列的递推公式,可以变为一个等比数列,方法是上式可变为,即数列是公比为2的等比数列,其通项公式易求,反过来,可求得,从而求出不等式左边的和,化简不等式.
试题解析:(1)由恒成立等价于恒成立,
从而得:,化简得,从而得,所以,
3分
其值域为. 4分
(2)解:
6分
, 8分
从而得,即,所以数列在区间上是递增数列. 10分
(3)由(2)知,从而;
,即;
12分
令,则有且;
从而有,可得,所以数列是为首项,公比为的等比数列,
从而得,即,
所以 ,
所以,所以,
所以,
.
即,所以,恒成立. 15分
当为奇数时,即恒成立,当且仅当时,有最小值为. 16分
当为偶数时,即恒成立,当且仅当时,有最大值为. 17分
所以,对任意,有.又非零整数, 18分,的数列通项公式,等比数列的前项和.
核心考点
试题【设二次函数,对任意实数,有恒成立;数列满足.(1)求函数的解析式和值域;(2)证明:当时,数列在该区间上是递增数列;(3)已知,是否存在非零整数,使得对任意,都】;主要考察你对函数的相关概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.函数()存在“和谐区间” |
B.函数()不存在“和谐区间” |
C.函数)存在“和谐区间” |
D.函数(,)不存在“和谐区间” |
(1)求函数的解析式;
(2)解不等式;
(3)若函数在区间上是增函数,求实数的取值范围.
A. | B. |
C. | D. |
-1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
0.37 | 1 | 2.72 | 7.39 | 20.09 | |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
A. | B. | C. | D. |
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