题目

题型：不详难度：来源：

轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m.
(1)求助跑道所在的抛物线方程；
(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m到6 m之间(包括4 m和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．
(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)

答案

（1）f(x)＝x²－4x＋4，x∈[0,3]
（2）2 m到3 m之间

解析

解：(1)设助跑道所在的抛物线方程为
f(x)＝a₀x²＋b₀x＋c₀，
依题意
解得 a₀＝1，b₀＝－4，c₀＝4，
所以助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝x²－4x＋4，x∈[0,3]．
(2)设飞行轨迹所在抛物线为g(x)＝ax²＋bx＋c(a<0)，
依题意，
即，解得
所以g(x)＝ax²＋(2－6a)x＋9a－5
＝a²＋1－.
令g(x)＝1，得²＝.
因为a<0，所以x＝－＝3－.
当x＝时，g(x)有最大值，为 1－，
则运动员的飞行距离
d＝3－－3＝－，
飞行过程中距离平台最大高度
h＝1－－1＝－，
依题意，4≤－≤6，即2≤－≤3，
即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2 m到3 m之间．