已知x+2y+3z=1，则x2+y2+z2取最小值时，x+y+z的值为______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知x+2y+3z=1，则x²+y²+z²取最小值时，x+y+z的值为______．

答案

由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）
故x²+y²+z²≥

，当且仅当

取等号，
此时y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，
∴x=

，y=

，x=

，
x+y+z=

．
故答案为：

．

核心考点

试题【已知x+2y+3z=1，则x2+y2+z2取最小值时，x+y+z的值为______．】；主要考察你对柯西不等式等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知正数x，y，z满足5x+4y+3z=10．
（1）求证：

25x 2

4y+3z

16y2

3z+5x

9z2

5x+4y

≥5；
（2）求9x2+9y2+z2的最小值．

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若2x+3y=1，求4x²+9y²的最小值，并求出最小值点．

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已知x+5y+3z=1，则x²+y²+z²的最小值为______．

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函数y=3

x-2

6-x

的最大值是______．

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本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多作，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中．
（1）选修4一2：矩阵与变换
设矩阵M所对应的变换是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换．
（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩阵M^-1以及椭圆

=1在M^-1的作用下的新曲线的方程．
（2）选修4一4：坐标系与参数方程
已知直线C1：

x=1+tcosα

y=tsinα

（t为参数），C2：

x=cosθ

y=sinθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）当α=

时，求C₁与C₂的交点坐标；
（Ⅱ）过坐标原点O做C₁的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程．
（3）选修4一5：不等式选讲
已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求

4a+1

4b+1

4c+1

的最大值．

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