题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲 如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.

求证：（1）；
（2）AB²=BE•BD-AE•AC.

答案

（1）连结AD所以∠ADB=90°又EF⊥AB，∠EFA=90°则A、D、E、F四点共圆，∴∠DEA=∠DFA（2）由(1)知，BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF∴即：AB•AF=AE•AC
∴ BE•BD-AE•AC=BA•BF-AB•AF=AB(BF-AF)=AB²

解析

试题分析：(1) 连结AD
因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠EFA=90°
则A、D、E、F四点共圆
∴∠DEA=∠DFA
(2) 由(1)知，BD•BE=BA•BF
又△ABC∽△AEF
∴
即：AB•AF=AE•AC
∴ BE•BD-AE•AC
=BA•BF-AB•AF
=AB(BF-AF)
=AB²
点评：与圆相关的证明角相等问题结合圆中的性质，圆中相等的角构成的相似三角形边的长度比例关系