题目

题型：模拟题难度：来源：

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD，
(1)求证：EF·EP= DE·EA；
(2)若EB=DE=6，EF=4，求PA的长．

答案

解：(1)∵CD∥AP，
∴∠ECD=∠APE，
∵∠EDF=∠ECD，
∴∠APE=∠EDF，
又∵∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA，
∴DE：PE=EF：EA，即EF·EP=DE·EA。
(2)∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED，
∴△DEF∽△CED，
∴DE：EC=EF：DE，
∴DE²=EF·EC，
∵DE=6，EF=4，
∴EC=9，
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE·EA=CE·EB，
∴CE·EB=EF·EP，
∴9×6=4·EP，解得：，
∴PB=PE-BE=，PC=PE+EC=，
由切割线定理得：PA²=PB·PC，
∴。