已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

答案

假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点
（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），
由y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b得△₁=（2b）²-4ac≤0，
△₂=（2c）²-4ab≤0，
△₃=（2a）²-4bc≤0．
同向不等式求和得，
4b²+4c²+4a²-4ac-4ab-4bc≤0，
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac≤0，
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0，
∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，
因此假设不成立，从而命题得证．

核心考点

试题【已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．】；主要考察你对反证法等知识点的理解。[详细]

举一反三

设a，b，c∈（0，1），则a（1-b），b（1-c），c（1-a）（　　）

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A．都不大于

B．都不小于

C．至少有一个不大于

D．至少有一个不小于

用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（　　）

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A．假设a，b，c都小于0

B．假设a，b，c都大于0

C．假设a，b，c中都不大于0

D．假设a，b，c中至多有一个大于0

用反证法证明命题：“己知a、b是自然数，若a+b≥3，则d、b中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（　　）

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A．a、b中至少有二个不小于2

B．a、b中至少有一个小于2

C．a、b都小于2

D．a、b中至多有一个小于2

用反证法证明命题“设a，b∈R，|a|+|b|＜1，a²-4b≥0那么x²+ax+b=0的两根的绝对值都小于1”时，应假设（　　）

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热门考点

A．方程x²+ax+b=0的两根的绝对值存在一个小于1

B．方程x²+ax+b=0的两根的绝对值至少有一个大于等于1

C．方程x²+ax+b=0没有实数根

D．方程x²+ax+b=0的两根的绝对值都不小于1

用反证法证明命题：“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为______．