题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝a^x＋ (a>1)．
(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；
(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．

答案

（1）见解析   （2）见解析

解析

证明：(1)任取x₁，x₂∈(－1，＋∞)，不妨设x₁<x₂，
由于a>1，ax₁<ax₂，∴ax₂－ax₁>0.
又∵x₁＋1>0，x₂＋1>0，
∴－
＝
＝>0，
于是f(x₂)－f(x₁)＝ax₂－ax₁＋－>0，
即f(x₂)>f(x₁)，
故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
(2)证法一：假设存在x₀<0(x₀≠－1)满足f(x₀)＝0，
则ax₀＝－.
∵a>1，
∴0<ax₀<1.
∴0<－<1，即<x₀<2，与假设x₀<0相矛盾，
故方程f(x)＝0没有负数根．
证法二：假设存在 x₀<0(x₀≠－1)满足f(x₀)＝0，
①若－1<x₀<0，
则<－2,0<ax₀<1，
∴f(x₀)<－1，与f(x₀)＝0矛盾．
②若x₀<－1，则>0,1>ax₀>0，
∴f(x₀)>0，与f(x₀)＝0矛盾，
故方程f(x)＝0没有负数根．