在数列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn；(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N* - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

在数列中，a₁＝2，a_n_＋₁＝4a_n－3n＋1，n∈N^*.
(1)证明数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和S_n；
(3)证明不等式S_n_＋₁≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立

答案

(1)证明：由题设a_n_＋₁＝4a_n－3n＋1，得
a_n_＋₁－(n＋1)＝4(a_n－n)，n∈N_＋.
又a₁－1＝1，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知a_n－n＝4ⁿ^－¹，于是数列的通项公式为
a_n＝4ⁿ^－¹＋n.
所以数列的前n项和S_n＝＋.
(3)证明：对任意的n∈N_＋，
S_n_＋₁－4S_n
＝＋－4
＝－(3n²＋n－4)≤0.
所以不等式S_n_＋1≤4S_n，对任意n∈N_＋皆成立

解析

略

核心考点

试题【在数列中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列是等比数列；(2)求数列的前n项和Sn；(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*】；主要考察你对合情推理与演译推理等知识点的理解。[详细]

举一反三

矩形对角线相等，正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是（）
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