题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:PN⊥AM.
(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该角最大值的正切值.
(3)是否存在点P,使得平面 PMN与平面ABC所成的二面角为45°.若存在求出l的值,若不存在,说明理由.
答案
解析
设为平面的法向量,又正方体的棱长为1,
借助于,得到结论
第二问中,平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),
则sin θ== (*)
而θ∈[0,],当θ最大时,sin θ最大,tan θ最大(θ=除外),
由(*)式,当λ=时,(sin θ)max=,(tan θ)max=2
第三问中,平面ABC的一个法向量为n (0,0,1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z),
由(1)得=(λ,-1,).
由求出法向量,然后结合二面角得到解得λ=-.
(1)证明 如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.则P(λ,0,1),N(,,0),
从而=(-λ, ,-1),=(0,1, ).
=(-λ)×0+×1-1×=0,
∴PN⊥AM. -------------4分
(2)解 平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),
则sin θ== (*)
而θ∈[0,],当θ最大时,sin θ最大,tan θ最大(θ=除外),
由(*)式,当λ=时,(sin θ)max=,(tan θ)max=2 -----------6分
(3)平面ABC的一个法向量为n (0,0,1).设平面PMN的一个法向量为m=(x,y,z),
由(1)得=(λ,-1,).
由
令x=3,得m=(3,2λ+1,2(1-λ)).
∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°,
∴|cos〈m,n〉|===,解得λ=-.
故在线段A1B1上不存在点P --------------6分
核心考点
试题【如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直, AA1=AB=AC=1,AB⊥AC, M是CC1的中点, N是BC的中点,点P在线段A1B1上,且满足A】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
①; ②; ③; ④。
可由上述条件可推出的结论有 ;
如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面⊥平面,,,为的中点,
求证:(1)∥平面;(2)平面平面.
A.且 | B.且 |
C.且 | D.且 |
(1)求证:MN⊥AB;
(2)若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ,能否确定θ,使直线MN是异面直线AB与PC的公垂线?若能确定,求出的值;若不能确定,说明理由.
(I)在直线上是否存在一点,使得平面?请证明你的结论;
(II)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值。
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