题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)证明:平面AA1C1C平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
答案
解析
(1)根据直三棱柱的性质,可以建立空间直角坐标系,然后利用向量垂直得到面面垂直的证明。
(2)运用平面的法向量和数量积的性质,可以得到两个半平面的法向量的向量的夹角,因此得到求解。
解:解法一:(Ⅰ)∵,∴.
∵三棱柱为直三棱柱,∴
∵,∴平面
∵平面,∴,而,则.……4分
在中,,
在中,,
∴.同理可得,.
(或:在与中,∵,
∴~,∴,.)
∵,∴.即.
∵,∴平面. ……6分
(Ⅱ)如图,过作的垂线,垂足为,在平面内作交于点,连,则为二面角的平面角. ……8分
在中,,.∵~,∴,则,.在中,求得.
在中,由余弦定理,得.
故二面角的余弦值为. ……12分
解法二:∵,∴.
∵三棱柱为直三棱柱,∴
∵,∴平面. ……2分
以为坐标原点,、、所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,. ……4分
(Ⅰ),,,
∵,,
∴,,即,.
∵,∴平面. ……6分
(Ⅱ)设是平面的法向量,由得
取,则是平面的一个法向量. ……8分
又是平面的一个法向量, ……10分
且与二面角的大小相等.
由.
故二面角的余弦值为.
核心考点
举一反三
(Ⅰ)证明//平面;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在点,使⊥平面?若存在,请求出点的位置;若不存在,请说明理由.
A.PB⊥AD | B.平面PAB⊥平面PBC |
C.直线BC∥平面PAE | D.直线PD与平面ABC所成的角为45° |
如图,是直角三角形,,交于点,平面,,.
(1)证明:;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
(1)求正三棱台ABC-A1B1C1的体积;
(2)求平面EA1B1与平面A1B1C1的夹角的余弦;
(3)若P是棱A1C1上一点,求CP+PB1的最小值.
(Ⅰ)证明:直线平面;
(Ⅱ)求直线和底面所成角的大小.
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