题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分9分）
如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点.

（1）求证AC⊥BC₁
（2）求证AC₁∥平面CDB₁

答案

见解析。

解析

(1)通过证明AC⊥平面BCC₁B₁即可.
(2)证明DE//AC₁即可.
证明：（1）∴CC₁⊥底面ABC
∴CC₁⊥AC……………………………………1分
∴AC=3  BC=4  AB=5
∴AC²+BC²=AB²
∴AC⊥BC……………………………………2分
∴AC⊥平面BCC₁B₁…………………………3分
∴AC⊥BC₁……………………………………4分
（2）设BC₁∩B₁C=E连接DE
∵BCC₁B₁是矩形 ∴E是BC₁的中点…………5分
又D是AB的中点，在△ABC₁中，DE∥AC₁……6分
又AC₁平面CDB₁，  DE平面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁……………………………8分