题目

题型：不详难度：来源：

如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题：①三棱锥的体积不变； ②∥面； ③； ④面面。其中正确的命题的序号是_______________（写出所有你认为正确结论的序号）

答案

. ① ② ④

解析

解：对于①，容易证明AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离均相等，所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，则三棱锥A-D₁PC的体积不变；正确
对于②，连接A₁B，A₁C₁容易证明A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得；正确；
对于③由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁平面，若DP⊥BC₁，则DC与DP重合，与条件矛盾；错误；对于④，连接DB₁，容易证明DB₁⊥面ACD₁，从而由面面垂直的判定知：正确．
故答案为：①②④