题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面平行的判断和二面角的求法,可以运用传统几何法,也可以用空间向量方法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.法一:第一问,先作辅助线,利用中位线证,由中点得,所以得,所以,是平行四边形,得到,所以得出结论面;第二问,先作二面角的平面角,先通过已知证明是二面角的平面角,再证明是直角三角形,在这个直角三角形中求出,再求.法二:(1)先由余弦定理证明,得,由此建系,写出各点坐标,求,求出面的法向量,由得面;(2)先求面的法向量,面的法向量,由公式,由已知二面角为锐角得出结论.
试题解析:(1)取的中点,连,由题意设, 2分
,
是平行四边形,所以 4分
面,面,∴面 6分
(2)取 的中点,连, 8分
是等边三角形,∴,
∴,
是二面角的平面角 10分
知 面,,
在中,, 12分
即二面角的余弦值为 14分
解法二 (1)中,,,
由余弦定理
所以,,所以,,
所以,面面,,∴面, 2分
建系,令 ,
,
..4分
因为平面PAB的法向量
,∴面, ..6分
(2) 设平面PAD的法向量为
, 8分
10分
令所以 12分
平面的法向量 13分
,即二面角的余弦值为 14分
核心考点
举一反三
①若 ②若
③若 ④若
其中真命题的序号为( )
A.①② | B.②③ | C.③④ | D.①④ |
A.若,则 | B.若,则 |
C.若,则 | D.若,则 |
A.若直线、互相平行,则直线、确定一个平面 |
B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线 |
C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线 |
D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面 |
①若,,则
②若,,则
③若且,则
④若则
其中正确的命题是( )
A.①② | B.②③ | C.②④ | D.①④ |
(1)证明:平面;
(2)证明:;
(3)求二面角的正切值.
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