题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)点是直线中点,证明平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)点是直线中点,证明平面;证明线面平行,主要是证明线线平行,证明线线平行的方法有两种,一种利用三角形的中位线,另一种是利用平行四边形对边平行,此题不符合利用三角形的中位线,可考虑构造平行四边形来证,取的中点连结,证明即可,故只需证明且即可,由作法可知,,为此取的中点,连结,证明即可;(Ⅱ)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值,处理方法有两种,一传统方法,二向量法,传统方法首先确定二面角,过作的平行线,过作的垂线交于,连结,注意到棱垂直平面,∴是所求二面角的平面角,从而求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值,向量法,建立空间坐标系,以点为原点,直线为轴,直线为轴,建立空间直角坐标系,主要找两个平面的法向量,平面的一个法向量为.只需设平面的法向量为,由题意求出法向量为即可.
试题解析:(Ⅰ)证明:
取的中点连结,则
,,取的中点,连结,
∵且,∴△是正三角形,∴.
∴四边形为矩形,∴. 4分
又∵,
∴且,四边形是平行四边形.
∴,而平面,平面,∴平面.6分
(Ⅱ)(法1)过作的平行线,过作的垂线交于,连结,
∵,∴,
是平面与平面所成二面角的棱. 8分
∵平面平面,,∴平面,
又∵平面,∴平面,∴,
∴是所求二面角的平面角. 10分
设,则,,
∴,
∴. 12分
(法2)∵,平面平面,
∴以点为原点,直线为轴,直线为轴,建立空间直角坐标系,则轴在平面内(如图).设,由已知,得,,.
∴,, 8分
设平面的法向量为,
则且,
∴∴
解之得
取,得平面的一个法向量为. 10分
又∵平面的一个法向量为. 10分
. 12分
核心考点
举一反三
(Ⅰ)求证:EO⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求点D到平面AEC的距离.
①若
②
③
④
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明:⊥平面;
(Ⅱ)若,求直线与平面所成角的正弦值.
(1)求证:PA//平面EDB;
(2)求证:PB^平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.
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