题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;
(2)若PA=,PC与侧面APB所成角的余弦值为,PB与底面ABC成60°角,求二面角B―PC―A的大小。
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)先利用线面垂直的判定定理证明BC⊥平面PAB,再利用面面垂直的判定定理证明平面PAB⊥平面PBC;(2)过A作则ÐEFA为所求.然后求出AB=,PB=2,PC=3及AE,AF,在RtAEF中求解即可.
试题解析: (1)证明:∵PA^面ABC,PA^BC, ∵AB^BC,且PA∩AB=A,BC^面PAB
而BCÌ面PBC中,面PAB^面PBC. ……5分
(2)过A作
则ÐEFA为B−PC−A的二面角的平面角 8分
由PA=,在RtDPBC中,cosÐCPB=.
RtDPAB中,ÐPBA=60°. AB=,PB=2,PC=3 AE= =
同理:AF= 10分
∴sin==, 11分
∴=60°. 12分
另解:向量法:由题可知:AB=,BC=1,建立如图所示的空间直角坐标系 7分
B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,,0),P(0,,),假设平面BPC的法向量为=(x1,y1,z1),
∴
取z1=,可得平面BPC法向量为=(0,−3,) 9分
同理PCA的法向量为=(2,−,0) 11分
∴cos<,>==,所求的角为60° 12分
核心考点
试题【三棱锥P−ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC。(1)证明:平面PAB⊥平面PBC;(2)若PA=,PC与侧面APB所成角的余弦值为,PB与底面ABC成60°】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
①若,,点,则与不共面;
②若、是异面直线,,,且,,则;
③若,则;
④若,,,,,则.
其中为假命题的是( )
A.① | B.② | C.④ | D.③ |
(1)求证:;
(2)在棱上是否存在一点,使得平面?若存在,求的长;若不存在,说明理由;
(3)若二面角的大小为,求的长.
A.线段 |
B.线段 |
C.中点与中点连成的线段 |
D.中点与中点连成的线段 |
(I) 试判断直线CD与平面PAD是否垂直,并简述理由;
(II)求证:平面PAB⊥平面ABCD;
(III)如果CD=AD+BC,二面角P-CB-A等于600,求二面角P-CD-A的大小.
(1)求证:∥平面; (2)求二面角的大小.
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