题目
题型:不详难度:来源:
(1) 当x=2时,求证:BD⊥EG ;
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x),求f(x)的最大值;
(3) 当f(x)取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)通过建立空间直角坐标系.写出相应的坐标,再写出BD向量和EG向量.从而计算这两向量的数量积.即可得两直线垂直.本小题也可以通过转化为线面垂直来证明.
(2)以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积是以三角形BFC为底面,三棱锥的高为x.由三棱锥体积可得f(x).在通过求二次函数的最值即可结论.
(3)由(2)可得x=2.求二面角关键是求出两个平面的法向量.由于平面BFC的法向量可以是向量EA.另外平面DBF的法向量要通过法向量的计算方法可求得.再由两法向量求出向量夹角的余弦值.再通过图形的判断二面角的大小来判断是钝角还是锐角在确定余弦值的正负.本小题也可以作出二面角的平面角.通过计算求得余弦值.
试题解析:(1)(法一)∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。 1分
则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),D(0,2,2),E(0,0,0) 2分
(-2,2,2),(2,2,0) 3分
(-2,2,2)(2,2,0)=0,∴ 4分
(法二)作DH⊥EF于H,连BH,GH, 1分
由平面平面知:DH⊥平面EBCF,
而EG平面EBCF,故EG⊥DH。
又四边形BGHE为正方形,∴EG⊥BH,
BHDH=H,故EG⊥平面DBH, 3分
而BD平面DBH,∴ EG⊥BD。 4分
(或者直接利用三垂线定理得出结果)
(2)∵AD∥面BFC,
所以 VA-BFC==4(4-x)x
7分
即时有最大值为. 8分
(3)(法一)设平面DBF的法向量为,∵AE="2," B(2,0,0),D(0,2,2),
F(0,3,0),∴(-2,2,2), 9分
则 ,
即,
取x=3,则y=2,z=1,∴
面BCF的一个法向量为 12分
则cos<>= 14分
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为-
(法二)作DH⊥EF于H,作HM⊥BF,连DM。
由三垂线定理知BF⊥DM,∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。 9分
由△HMF∽△EBF,知,而HF=1,BE=2,,∴HM=。
又DH=2,
∴在Rt△HMD中,tan∠DMH=-,
因∠DMH为锐角,∴cos∠DMH=, 13分
而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角,
故二面角D-BF-C的余弦值为-.
核心考点
试题【已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC =∠BAD =,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE=x,G是BC的中点。沿EF将梯】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:;
(2)求证:平面;
(3)求二面角的余弦值.
①若,,且,则;
②若,,且,则;
③若,,且,则;
④若,,且,则;
其中真命题的序号( )
A.①② | B.③④ | C.②③ | D.①④ |
A.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直 |
B.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 |
C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直 |
D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行 |
(1)求证:∥平面;
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
(1)求证:;
(2)求二面角的余弦值.
最新试题
- 1风力发电机其主要部件包括风轮机、齿轮箱、发电机等。(1)利用总电阻R=10Ω的线路向外输送风力发电机产生的电能。输送功率
- 2矩形导线框abcd放在匀强磁场中,磁感线方向与线圈平面垂直,磁感强度B随时间变化的图象如图所示.t=0时刻,磁感强度的方
- 3We all felt a sense of ______ when we saw so many overseas C
- 4Don’t worry. He is to look after little Betty. A.car
- 5在化学反应中,一定发生变化的是( )A.原子种类B.分子种类C.元素种类D.物质状态
- 6在四川汶川抗震救灾中,空降兵乘飞机空降到灾区.伞兵跳下飞机后,人和伞在匀速下落的过程中,以下说法正确的是( )A.人和
- 7David Beckham is from .[ ]A. English
- 8已知直线y=-2x+m,圆x2+y2+2y=0.(1)m为何值时,直线与圆相交?(2)m为何值时,直线与圆相切?(3)m
- 9小明、志刚在观看电影时,高谈阔论,无所顾忌,遭到周围人的指责,这说明( )①尊重他人才能赢得他人的尊重②人们需要相互
- 10英国一家杂志评论说:“多年以来,我们都被一个精心的阴谋所操纵……( 我们) 将有一个傀儡议会、一支欧盟军队、一种统一货币
热门考点
- 1下列词语字形和加粗字注音全部正确的一项是[ ]A.滑稽(jī)俪(lí)歌猝(chù)然长逝B.狩(shòu)猎
- 2请报据周邦彦的词句“水面清圆,一一风荷举”写一个场景。要求:①想象合理;②语言生动:③60字左右。(4分)
- 3下列各组中,划线词语意思相同的一项是 [ ]A、大亡其财——亡而入胡 B、故时有物外之趣——温故而知新 C、吾日
- 4已知,求 的值.
- 5下列各句中,没有语病的一句是( )。A.针对21个航班有悖职业道德行为“人为返航”事件,某航空公司发言人表示,为了杜绝
- 6阅读下列材料,回答问题。(12分)古代东西方先哲孔子、柏拉图都生活在社会大变革的时代,都希望提出一套救世良方,何为良政?
- 7下列卤代烃在一定条件下能够发生消去反应的是A.CH3BrB.CCl3CH2ClC.D.
- 8This dictionary is different _____ that one. [ ]A. as
- 9下列句子,没有语病的一句是[ ]A、加大培养选拔优秀年轻干部的力度,是一项十七大提出的党的重大任务。 B、我们如
- 101 am surprised that a company with the good _______ would pr