题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:AD⊥PE;
(2)求二面角E-AD-G的正切值.
答案
解析
试题分析:(1)证明线线垂直要通过线面垂直证明,题中所给侧面PAD⊥底面ABCD是面面垂直,通过取AD的中点O,连结OP,OE,∵PA=PD,∴OP⊥AD,而OE⊥AD.,则AD⊥平面OPE.,从而能够证出AD⊥PE..(2)求二面角E-AD-G的正切值可以通过两种方法:①常规方法,作出二面角的平面角,并求出,取OE的中点F,连结FG,OG,则由(1)易知AD⊥OG,又OE⊥AD,∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角,再利用三角形中边长关系求出∠GOE的正切值;②空间向量法,建立如图所示的空间直角坐标系,写出已知点的坐标,设平面ADG的法向量为,根据,求出
,而平面EAD的一个法向量为,再根据求出.
试题解析:(1)如图,取AD的中点O,连结OP,OE,∵PA=PD,∴OP⊥AD,
又E是BC的中点,∴OE∥AB,∴OE⊥AD.
又OP∩OE=0,∴AD⊥平面OPE.
∵PE⊂平面OPE,∴AD⊥PE.
(2)解法一:取OE的中点F,连结FG,OG,则由(1)易知AD⊥OG,
又OE⊥AD,∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角,
∵PA=PD,∠APD=60°,
∴△APD为等边三角形,且边长为2,
∴OP=×2=,FG=OP=,OF=CD=1,
∴OG=,∴cos∠GOE=
解法二:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,),E(0,2,0),
∴
设平面ADG的法向量为,
由得,
∴.
又平面EAD的一个法向量为,
又因为.
核心考点
试题【四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形,又PA=PD,∠APD=60°,E、G分别是BC、PE的中点.(1)求证:AD⊥】;主要考察你对向量与空间位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离.
A.1 | B.3 | C.2 | D.4 |
(Ⅰ)若M为PA中点,求证:AC∥平面MDE;
(Ⅱ)求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小.
A.若则 | B.若,则 |
C.若,则 | D.若,则 |
(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ)求点B到平面PAC的距离.
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