题目

题型：不详难度：来源：

（2013•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

答案

（1）2     （2）

解析

（1）如图，连接BD交AC于点O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O为坐标原点，OB、OC所在直线分别为x轴、y轴，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．
又∵OD=CDsin=，
∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可设P（0，﹣3，z）
∵F为PC边的中点，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），
∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，
∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍负）
因此，=（0，0，﹣2），可得PA的长为2；
（2）由（1）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），
设平面FAD的法向量为=（x₁，y₁，z₁），平面FAB的法向量为=（x₂，y₂，z₂），
∵•=0且•=0，∴，取y₁=得=（3，，﹣2），
同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），
∴向量、的夹角余弦值为cos＜，＞===
因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=