题目
题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.
求证:
若问为何值时,四棱锥的体积最大?并求此时平面与平面夹角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(1)先将面面垂直转化为线面垂直:ABCD为矩形,故ABAD,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,再根据线面垂直证线线垂直:因为PD平面PAD,所以ABPD
(2)求四棱锥体积,关键要作出高.这可利用面面垂直性质定理:过P作AD的垂线,垂足为O,又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PO平面ABCD,下面用表示高及底面积:设,则,故四棱锥P-ABCD的体积为
故当时,即时,四棱锥的体积P-ABCD最大.
求二面角的余弦值,可利用空间向量求解,根据题意可建立空间坐标系,分别求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量,再利用向量数量积求夹角余弦值即可.
试题解析:(1)证明:ABCD为矩形,故ABAD,
又平面PAD平面ABCD
平面PAD平面ABCD=AD
所以AB平面PAD,因为PD平面PAD,故ABPD
(2)解:过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG.
故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG
在直角三角形BPC中,
设,则,故四棱锥P-ABCD的体积为
因为
故当时,即时,四棱锥的体积P-ABCD最大.
建立如图所示的空间直角坐标系,
故
设平面BPC的法向量,则由,得
解得
同理可求出平面DPC的法向量,从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为
核心考点
举一反三
如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若垂直于平面且,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值.
如图,三棱柱中,侧面为菱形,.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若,,,求二面角的余弦值.
求证(1)直线平面;
(2)平面平面.
(1)证明:AC1⊥A1B;
(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1-AB-C的大小.
如图,四棱锥中,⊥平面,∥,,分别为线段的中点.
(1)求证:∥平面;
(2)求证:⊥平面.
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