题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
答案
解析
试题分析:(方法一:传统几何方法)(1)证明线面平行,可在平面内找到一条线与面外的线AF平行即可,因此本小题可取CE中点为G,连接DG,FG,证明四边形AFGD为平行四边形即可完成证明;(2)本小题中可过点E作CB的平行线交BF的延长线于P,连接FP,EP,AP,把问题转化为证明为平面与平面所成锐二面角的平面角,再利用直角三角形的边角关系算出其余弦值.
(方法二:空间向量方法)(1)本小题可以以C为原点,CB所在直线为x轴,CE所在直线为y轴,CD所在直线为z轴建立空间直角坐标系,把问题转化为证明AF的方向向量与平面CDE的一个法向量垂直(证它们的数量积为零),而根据题意易得这个法向量为;(2)本小题为常考的利用空间向量解决面面角问题,只需找到这两个面的法向量,利用公式完成计算即可,但要注意本题面面角为锐二面角.
试题解析:(方法一:)(1)取CE中点为G,连接DG,FG,
且,∴四边形BFGC为平行四边形,则且.
∵四边形ABCD为矩形,∴且,∴且,
∴四边形AFGD为平行四边形,则
∵,,∴.
(2)过点E作CB的平行线交BF的延长线于P,连接FP,EP,AP,
∵,∴A,P,E,D四点共面.四边形为直角梯形,四边形为矩形,,,又,平面,,又平面平面,为平面与平面所成锐二面角的平面角.
,.即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
(方法二:)(1)四边形为直角梯形,四边形为矩形,,,又平面平面,且平面平面,∴平面,以C为原点,CB所在直线为x轴,CE所在直线为y轴,CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.
根据题意我们可得以下点的坐标:
∵∴为平面的一个法向量,又∵
∴平面.
(2)设平面的一个法向量为则,∵
, 取,得.平面,平面一个法向量为,设平面与平面所成锐二面角的大小为,则.因此,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
核心考点
举一反三
A.若m//n,则 |
B.若,则 |
C.若相交,则相交 |
D.若相交,则相交 |
A.若,则 | B.若,则 |
C.若,则 | D.若,则 |
(1)求证:平面VAC;
(2)若AC=1,求二面角M-VA-C的余弦值.
(1) 求证:;
(2) 求证:平面;
点F为棱BB1的中点,点M为线段AC1的中点.
(1)求证: MF∥平面ABCD
(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1
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