题目

题型：不详难度：来源：

已知：正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点.
（1）求证：平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁；
（2）求点D₁到平面B₁EF的距离.

答案

(1)证明略 (2)

解析

（1） 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），

B（2，2，0），E（2，，0），
F（，2，0），D₁（0，0，4），
B₁（2，2，4）.
=（-，，0），=（2，2，0），=（0，0，4），
∴·=0，·=0.
∴EF⊥DB，EF⊥DD₁，DD₁∩BD=D，
∴EF⊥平面BDD₁B₁.
又EF平面B₁EF，∴平面B₁EF⊥平面BDD₁B₁.
（2） 由（1）知=（2，2，0），
=（-，，0），=（0，-，-4）.
设平面B₁EF的法向量为n,且n=(x,y,z)
则n⊥,n⊥
即n·=（x，y，z）·（-，，0）=-x+y=0，
n·=（x，y，z）·（0，-，-4）=-y-4z=0，
令x=1,则y=1,z=-,∴n="(1,1,-" )
∴D₁到平面B₁EF的距离
d===.