证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC+zOD． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

．

答案

（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，
则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面
⇔对空间任一点O，存在实数x₁、y₁，使得

+x₁

+y₁

+x₁（

）+y₁（

）
=（1-x₁-y₁）

+x₁

+y₁

，
取x=1-x₁-y₁、y=x₁、z=y₁，
则有

，且x+y+z=1．
（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

．
所以x=1-y-z得

=（1-y-z）

．

，即：

，
所以四点A、B、C、D共面．
所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：
对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得

．

核心考点

试题【证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC+zOD．】；主要考察你对空间向量的基本定理等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量

+λ

确定的点P与A，B，C共面，那么λ=______．

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已知

=(2，-1，1)，

=(-1，4，-2)，

=(λ，5，1)，若向量

，

共面，则λ=______．

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已知空间三点的坐标为A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p，3，q+2），若A，B，C三点共线，则p=______，q=______．

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已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），则点D的坐标为（　　）

A．（

，4，-1）

B．（2，3，1）

C．（-3，1，5）

D．（5，13，-3）

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已知点A（1，-2，11），B（4，2，3），C（x，y，15）三点共线，那么x，y的值分别是（　　）

A．

，4

B．1，8

C．-

，-4

D．-1，-8

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