题目

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，,平面，是的中点，是的中点.  　
(Ⅰ) 求证：∥平面；
（Ⅱ）求证：平面⊥平面；
（Ⅲ）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

答案

(Ⅰ) 取中点为，连 ∵ 是的中点 ∴是的中位线,∴    ∵ 是中点且是菱形，
,∴ . ∴  
∴ 四边形是平行四边形. 从而 ,    ∵ 平面 ,
平面,       ∴ ∥平面      ……………………………4分
（Ⅱ）∵ ⊥平面,平面  ∴   
∵ 底面是菱形， ∴ 为正三角形, ∵是中点 ∴     ∵是平面内的两条相交直线 ∴ ⊥平面. 
∵平面 ∴ 平面⊥平面  . ……………………………8分
说明：(Ⅰ) 、（Ⅱ）前两小题用向量法，解答只要言之有理均应按步给分.
（Ⅲ）以为原点，垂直于的方向为轴，的方向分别为轴、轴建立空间直角坐标系，易知、、、.
由（Ⅱ）知⊥平面，∴是平面的一个法向量,
设平面的一个法向量为
由 ,且由
在以上二式中令，则得，，
∴,设平面与平面所成锐角为 
∴ .　
故平面与平面所成的锐角为

解析

略