题目

题型：不详难度：来源：

如图，边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将△、△分别沿、折起，使、两点重合于点，连接，．

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．

答案

（1）详见解析；（2）.

解析

试题分析：（1）由，证出平面，进而证出结论；（2）方法一：根据对称可判断即为所求，由（1）可证△为直角三角形，再求出边长即可；方法二：建系，求出平面和平面的法向量，两法向量的夹角的余弦值即为所求.
试题解析：（1）在正方形中，有，              1分
则，                                              2分
又                                                        3分
∴平面                                                      4分
而平面，∴                                        5分
（2）方法一：连接交于点，连接                           6分
∵在正方形中，点是的中点，点是的中点，
∴，，
∴点为的中点，
且                                                            7分
∵正方形的边长为2，∴，∴                8分
∴为二面角的平面角         9分

由（1）可得，
∴△为直角三角形       10分
∵正方形的边长为2，
∴，，
∴，，
又                       11分
∴                                    12分
∴                                         13分
∴二面角的余弦值为                                       14分
方法二：∵正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，
∴，
∴                                                            6分
∴，∴                                    7分

由（1）得平面，
∴分别以，，为，，
轴建立如图所示的空间直角
坐标系，             8分
则，，
，         9分
∴，，
设平面的一个法向量为，则由，
可取                                                  11分
又平面的一个法向量可取                          12分
∴                         13分
∴二面角的余弦值为.                                 14分.