题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:;
(2)求二面角A-BP-D的余弦值.
答案
解析
试题分析:
(1)要证明直线PA垂直BO,根据线面垂直的性质只需要证明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是点P在面ABCD上的投影,则有PO垂直于面ABCD,即有BO与PO垂直,三角形ABO的三条边已知,则利用三角形的勾股定理即可证明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD内两条相交的直线,则BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA.
(2)根据(1)利用AD,PO,BO两两垂直,即可分别设为x,y,z轴建立三维直角坐标系,利用坐标法来求解二面角,即分别求出面ABP与面BPD的法向量,法向量的夹角即为二面角或其补角,根据观察不能发现该二面角是钝角,则利用向量内积的定义即可求出该二面角的余弦值.
试题解析:
(1)在中,,
则,∴⊥.
∵⊥平面,∴⊥.
又平面,平面,且,
∴⊥平面.
又平面,∴⊥. 6分
(2)由题知,以为坐标原点,为轴,
建立如图空间直角坐标系.
由已知,,∴.
因为等腰梯形,,,
所以,∴,,
,, 8分
所以,,
,.
设平面的法向量为,则,
令,故,即.
设平面的法向量为,
则,
令,∴,即.
故,
设二面角的大小为,由图可知是钝角,
所以二面角的余弦值为. 12分
核心考点
试题【如图,等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一点,P在平面ABCD的射影O恰在AD上,.(1)证明:;(2)求二面角A-BP-D的余弦值.】;主要考察你对空间向量的基本概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)证明:;
(2)若二面角D1—EC—D的大小为,求的值.
(1)求异面直线与所成的角;
(2)若二面角的大小为,求点到平面的距离.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的大小.
⑴确定Q的位置;
⑵求二面角Q-BD-C的平面角的余弦值.
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