题目
题型:不详难度:来源:
(1)证明:为的中点;
(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;
(3)若,,梯形的面积为6,求平面与底面所成二面角大小.
答案
解析
试题分析:(1)利用面面平行来证明线线平行∥,则出现相似三角形,于是根据三角形相似即可得出,即为的中点.(2)连接.设,梯形的高为,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和,,则.先表示出和,就可求出,从而.(3)可以有两种方法进行求解.第一种方法,用常规法,作出二面角.在中,作,垂足为,连接.又且,所以平面,于是.所以为平面与底面所成二面角的平面角.第二种方法,建立空间直角坐标系,以为原点,分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.设.因为,所以.从而,,所以,.设平面的法向量,再利用向量求出二面角.
(1)证:因为∥,∥,,
所以平面∥平面.从而平面与这两个平面的交线相互平行,即∥.
故与的对应边相互平行,于是.
所以,即为的中点.
(2)解:如图,连接.设,梯形的高为,四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和,,则.
,
,
所以,
又
所以,
故.
(3)解法1如第(20)题图1,在中,作,垂足为,连接.又且,所以平面,于是.
所以为平面与底面所成二面角的平面角.
因为∥,,所以.
又因为梯形的面积为6,,所以.
于是.
故平面与底面所成二面角的大小为.
解法2如图,以为原点,分别为轴和轴正方向建立空间直角坐标系.
设.因为,所以.
从而,,
所以,.
设平面的法向量,
由得,
所以.
又因为平面的法向量,
所以,
故平面与底面所成而面积的大小为.
核心考点
试题【如图,四棱柱中,底面.四边形为梯形,,且.过三点的平面记为,与的交点为.(1)证明:为的中点;(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比;(3)若,,梯形】;主要考察你对空间向量的基本概念等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B.且 |
C.且 | D.且 |
(1)求证:;
(2)若底面,且,求直线与平面所成角的大小,并求线段的长.
(1)证明:;
(2)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.
A.①和② | B.③和① | C.④和③ | D.④和② |
当时,证明:直线平面;
是否存在,使平面与面所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
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