题目

题型：不详难度：来源：

如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC＝2，BD＝2，E是PB上任意一点．
(1)求证：AC⊥DE；
(2)已知二面角A­PB­D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

答案

（1）证明见解析；（2）．

解析

试题分析：
解题思路：（1）利用线面垂直的性质推得线线垂直：（2）建立空间坐标系，利用二面角A­PB­D的余弦值为，求出PD;进而利用空间向量求线面角的正弦值.
规律总结：对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定，要牢牢记住并灵活进行转化，线线关系是关键；涉及夹角、距离问题以及开放性问题，要注意利用空间直角坐标系进行求解.
试题解析：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD，
∵DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE.
(2)在△PDB中，EO∥PD，∴EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设PD＝t，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，，P(0，－，t)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，t)．

由(1)知，平面PBD的一个法向量为n₁＝(1,0,0)，设平面PAB的法向量为n₂＝(x，y，z)，则根据,
得，令y＝1，得平面PAB的一个法向量为
∵二面角A­PB­D的余弦值为，
则|cos〈n₁，n₂〉|＝，即
＝，解得t＝2或t＝－2 (舍去)，
∴P(0，－，2)．
设EC与平面PAB所成的角为θ，
∵＝(－1,0，－)，n₂＝(，1,1)，
则sin θ＝|cos〈，n₂〉|＝，
∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.