设x1，x2是函数f（x）=a3x3+b2x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．（Ⅰ）证明：0＜a≤1；（Ⅱ）证明：|b|≤439． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：重庆二模难度：来源：

设x₁，x₂是函数f（x）=

x3+

x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：|b|≤

．

答案

证明：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是f（x）的两个极值点，
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个实数根．…（3分）
∵a＞0，∴x1•x2=-a＜0，x1+x2=-

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=

+4a

∵|x₁|+|x₂|=2
∴

+4a=4即b²=4a²-4a³
∵b²≥0，∴0＜a≤1…（7分）
（Ⅱ）设g（a）=4a²-4a³，则g′（a）=8a-12a²=4a（2-3a）
由g′(a)＞0，0＜a＜

；g′(a)＜0，

＜a≤1得g（a）在区间(0，

)上是增函数，在区间(

，1)上是减函数，…（11分）
∴g(a)max=g(

∴|b|≤

…（13分）

核心考点

试题【设x1，x2是函数f（x）=a3x3+b2x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x1|+|x2|=2．（Ⅰ）证明：0＜a≤1；（Ⅱ）证明：|b|≤439．】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f（x）=

x3-2ax2-3x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若y=f（x）的极大值点与极小值点之差为2a-3，试求实数a的值．

题型：青岛一模难度：| 查看答案

设函数f（x）的定义域为R．若存在与x无关的正常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为有界泛函．在函数：
①f（x）=-3x，
②f（x）=x²，
③f（x）=sin²x，
④f（x）=2^x，
⑤f（x）=xcosx
中，属于有界泛函的有______．（填上所有正确的番号）

题型：重庆二模难度：| 查看答案

已知平面向量

=（

，-1），

=（

，

）．
（1）证明：

⊥

；
（2）若存在实数k和t，使得x=

+（t²-3）

，y=-k

，且x⊥y，试求函数关系式k=f（t）；
（3）根据（2）的结论，确定k=f（t）的单调区间．

题型：不详难度：| 查看答案

已知常数a＞0，n为正整数，f_n（x）=xⁿ-（x+a）ⁿ（x＞0）是关于x的函数．
（1）判定函数f_n（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）对任意n≥a，证明f′_n+1（n+1）＜（n+1）f_n′（n）

题型：杭州二模难度：| 查看答案

已知向量

=(x2，y-cx)，

=(1，x+b)，

∥

，（x，y，b，c∈R），且把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af′（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求

和c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[

，a2]上单调递减，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，设0＜t＜4且t≠2，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线与曲线y=f（x）相交于点B（m，f（m））（A，B不重合），直线x=t与y=f（m）相交于点C，△ABC的面积为S，试用t表示△ABC的面积S（t），若P为S（t）上一动点，D（4，0），求直线PD的斜率的取值范围．

题型：眉山二模难度：| 查看答案

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