题目

题型：不详难度：来源：

设

a

=(1，cos2θ)，

b

=(2，1)，

c

=(4sinθ，1)，

d

=(

1

2

sinθ，1)其中θ∈(0，

π

4

)．
（1）求

a

•

b

-

c

•

d

的取值范围；
（2）若f(x)=

x-1

，f(

a

•

b

)+f(

c

•

d

)=

6

2

+

2

2

，求cosθ-sinθ的值．

答案

a

•

b

=2+cos2θ  

c

•

d

=2sin2θ+1（2分）
（1）

a

•

b

-

c

•

d

=2+cos2θ-2sin2θ-1=cos2θ+1-2sin2θ=2cos2θ（4分）
∵θ∈(0，

π

4

)
∴2cos2θ∈（0，2）
即

a

•

b

-

c

•

d

的取值范围是（0，2）（7分）
（2）∵f(

a

•

b

)=

a • b -1

=

1+cos2θ

=

2

|cosθ|=

2

cosθ
f(

c

•

d

)=

c • d -1

=

2

|sinθ|=

2

sinθ（10分）
∴f(

a

•

b

)+f(

c

•

d

)=

2

(cosθ+sinθ)=

6

2

+

2

2

∴cosθ+sinθ=

3

2

+

1

2

∴(cosθ+sinθ)2=1+

3

2

=1+2sinθcosθ
∴sin2θ=

3

2

因为θ∈(0，

π

4

)所以2θ=

π

3

    θ=

π

6

故cosθ-sinθ=

3

2

-

1

2

（14分）
（注亦可：(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=1-

3

2

=

4-2 3

4

cosθ-sinθ=±

3 -1

2

θ∈(0，

π

4

)
sinθ＜cosθ∴cosθ-sinθ=

3

2

-

1

2

）