题目

题型：武汉模拟难度：来源：

已知向量

a

=(cosθ，sinθ)，

b=

(cos2θ-1，sin2θ)，

c

=(cos2θ，sin2θ-

3

)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：

a

⊥

b

；
（2）设f(θ)=

a

•

c

，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

答案

（1）根据数量积的坐标运算公式，得

a

•

b

=(cosθ，sinθ)•(-2sin2θ，2sinθcosθ)
=-2sin²θcosθ+2sin²θcosθ=0    
所以 

a

⊥

b

（2）根据数量积的坐标运算公式，得
f(θ)=cosθcos2θ+sinθsin2θ-

3

sinθ
=cosθ-

3

sinθ=2cos(θ+

π

3

)
∴θ∈（0，π），
∴

π

3

＜θ+

π

3

＜

4π

3

，
∴f（θ）的值域为：[-2，1）．