题目

题型：不详难度：来源：

设A，B为圆x²+y²=1上两点，O为坐标原点（A，O，B不共线）
（1）求证：

OA

+

OB

与

OA

-

OB

垂直．
（2）当∠xOA=

π

4

，∠xOB=θ，θ∈(-

π

4

，

π

4

)且

OA

•

OB

=

3

5

时，求sinθ的值．

答案

（1）证明：∵A，B为圆x²+y²=1上两点，O为坐标原点
∴|

OA

|=|

OB

|=1，
又∵（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）
=

OA

2-

OB

2
=|

OA

|2-|

OB

|2
=1-1=0
∴

OA

+

OB

⊥

OA

-

OB

…（4分）
（2）∵∠xOA=

π

4

，∠xOB=θ，θ∈(-

π

4

，

π

4

)
∴A(cos

π

4

，sin

π

4

)，B(cosθ，sinθ)
∴

OA

•

OB

=cos

π

4

cosθ+sin

π

4

sinθ=sin(

π

4

+θ)=

3

5

…（8分）
∵θ∈(-

π

4

，

π

4

)
∴θ+

π

4

∈(0，

π

2

)
∴cos(θ+

π

4

)=

4

5

…（10分）
sinθ=sin(θ+

π

4

-

π

4

)=sin(θ+

π

4

)cos

π

4

-cos(θ+

π

4

)sin

π

4

=-

2

10