题目

题型：不详难度：来源：

已知（c>0），（n, n）（n∈R）, 的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件：①，②（其中）；③动点P的轨迹C经过点B（0,－1）。
（1）求c值； （2）求曲线C的方程；（3）方向向量为的直线l与曲线C交于不同两点M、N，若，求k的取值范围。

答案

(1),(2)曲线C的方程为：,
(3)的取值范围是。

解析

（1）法一，∵
                 
当时，                          
法二，由可知点G在直线y=x上
∴|FG|的最小值为点F到直线y=x的距离，即      （）
（2）由知 又
又（）∴∴点P在以F为焦点，为准线的椭圆上
设P(x,y)，则∵动点P的轨迹C经过点B(0,-1)且
∴从而b="1 " ∴曲线C的方程为：
（3）设直线的方程为
由     
∵与曲线C交于不同两点，∴，即①
设的中点由则有BR⊥MN
∵K_MN=K_L=K∴（11分）由韦达定理有
∴∴MN的中点R₀坐标为（12分）又B（0，-1）
∴   ②
由①②联立可得
即∴为R上的减函数
（3分）志求闭区间为[-1，1]
（2）（5分）（或∵）∴在R不可能恒为正式恒为负）
      
        
∴在R上不是单调函数，故不是闭函数
（3）在（0，）上是增函数
设[]（0，∞），  
即方程有两个不相等的正根（12分）
于是
故的取值范围是