题目

题型：杭州一模难度：来源：

设向量a_n=(cos

nπ

6

，sin

nπ

6

)，向量b的模为k（k为常数），则y=|a₁+b|²+|a₂+b|²+…+|a₁₀+b|²的最大值与最小值的差等于______．

答案

因为

an

=（cos

nπ

6

，sin

nπ

6

），
所以

an

2= cos2

nπ

6

+sin2

nπ

6

=1．
y=|a₁+b|²+|a₂+b|²+…+|a₁₀+b|²
=

a1

2+

a2

2+…+

a10

2+10

b

2+2

b

•（

a1

+

a2

…+

a10

）
=10+10k²+2

b

•（

a1

+

a2

…+

a10

）
因为

an

=（cos

nπ

6

，sin

nπ

6

），
所以

a1

=(

3

2

，

1

2

)，

a2

=(

1

2

，

3

2

)，

a3

=(0，1)，

a4

=(-

1

2

，

3

2

)，

a5

=(-

3

2

，

1

2

)，

a6

=(-1，0)，

a7

=(-

3

2

，-

1

2

)，

a2

=(-

1

2

，-

3

2

)，

a9

=(0，-1)，

a10

=(

1

2

，-

3

2

)．
所以

a1

+

a2

…+

a10

=（-1-

3

2

，

1

2

）
又设

b

=k(cosθ，sinθ)，（k≥0，θ∈R）
所以y=10+10k²+2

b

•（

a1

+

a2

…+

a10

）
=10+10k²+2k（cosθ，sinθ）•（-1-

3

2

，

1

2

）
=10+10k²+2k

2+ 3

cos（θ-α）
所以y的最大值为10+10k²+2k

2+ 3

，最小值为10+10k²-2k

2+ 3

，
所以最大值与最小值的差等于4k

2+ 3

=2（

6

+

2

）k．
故答案为2（

6

+

2

）k．