题目

题型：不详难度：来源：

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π
（1）若|

OA

+

OC

|=

7

，求

OB

与

OC

的夹角；
（2）若AC⊥BC，求tanα的值．

答案

（1）∵

OA

+

OC

=（2+cosα，sinα），|

OA

+

OC

|=

7

∴（2+cosα）²+sin²a=7，
∴cosa=

1

2

又α∈（0，π），
∴a=

π

3

，即∠AOC=

π

3

又∠AOB=

π

2

，∴OB与OC的夹角为

π

6

；
（2）

AC

=（cosa-2，sina），

BC

=（cosa，sina-2），
∵AC⊥BC，∴

AC

•

BC

=0，cosa+sina=

1

2

①
∴（cosa+sina）²=

1

4

，∴2sinacosa=-

3

4

∵a∈（0，π），∴a∈(

π

2

，π)，
又由（cosa-sina）²=1-2sinacosa=

7

4

，cosa-sina＜0，
∴cosa-sina=-

7

2

②由①、②得cosa=

1- 7

4

，sina=

1+ 7

4

，
从而tana=-

4+ 7

3

．