题目

题型：不详难度：来源：

已知|

a

|=4，|

b

|=3，（2

a

-3

b

）•（2

a

+

b

）=61．
（1）求

a

与

b

的夹角：
（2）求2

a

+

b

和

a

-4

b

夹角的余弦．

答案

（1）由已知得，4

a

²-3

b

²-4

a

•

b

=61，即4×16-3×9-4×4×3cosθ=61．
解得cosθ=-

1

2

，θ∈[0，π]．
所以，

a

与

b

的夹角是

2π

3

；
（2）|2

a

+

b

|²=（2

a

+

b

）²
=4

a

²+

b

²+4

a

•

b

=4×16+9+4×4×3×(-

1

2

)
=49．
所以，|2

a

+

b

|=7．  
同理，可求得|

a

-4

b

|=4

13

．
所以，2

a

+

b

和

a

-4

b

夹角的余弦为
cosφ=

(2 a + b )•( a -4 b )

| 2a + b || a -4 b |

=

2 a 2-4 b 2-7 a • b

7×4 13

=

19 13

182

．