题目

题型：不详难度：来源：

已知A（3，0），B（0，3）C（cosα，sinα），O为原点．
（1）若

OC

∥

AB

，求tanα的值；
（2）若

AC

⊥

BC

，求sin2α的值．
（3）若|

OA

+

OC

|=

13

且α∈(0，π)，求

OB

与

OC

的夹角．

答案

（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴

OC

=（cosα，sinα），

AB

=（-3，3），
∵

OC

∥

AB

，∴3cosα+3sinα=0，解得tanα=-1
（2）由题意得，

AC

=（coaα-3，sinα），

BC

=（coaα，sinα-3），
∵

AC

⊥

BC

，∴coaα（coaα-3）+sinα（sinα-3）=0，
1-3（sinα+coaα）=0，即sinα+coaα=

1

3

，
两边平方后得，sin2α=-

8

9

，
（3）由题意得，

OA

=（3，0），

OC

=（cosα，sinα），
∴

OA

+

OC

=（coaα+3，sinα），由|

OA

+

OC

|=

13

得，
（cosα+3）²+sin²α=13，即cosα=

1

2

，则α=

π

3

，
∴cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB || OC |

=

3sinα

3

=

3

2

，
则所求的向量的夹角是

π

6

．