题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点。
（1）设点P分有向线段所成的比为λ，证明：；
（2）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

答案

解：（1）依题意，可设直线AB的方程为
代入抛物线方程得
①
设A、B两点的坐标分别是、，则x₁，x₂是方程①的两根
所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得
即
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，-m），从而




所以。
（2）由得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4）
由得
所以抛物线在点A处切线的斜率为
设圆C的方程是
则
解之得
所以圆C的方程是
即。