题目

题型：不详难度：来源：

已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求|a＋b|；
(3)若＝a，＝b，求△ABC的面积．

答案

（1）θ＝（2）（3）3

解析

(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|²－4a·b－3|b|²＝61.
又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，
∴a·b＝－6.
∴cosθ＝.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
(2)可先平方转化为向量的数量积．
|a＋b|²＝(a＋b)²＝|a|²＋2a·b＋|b|²
＝4²＋2×(－6)＋3²＝13，
∴|a＋b|＝.
(3)∵与的夹角θ＝，
∴∠ABC＝π－＝.
又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3，
∴S_△ABC＝||||sin∠ABC＝×4×3×＝3.