题目

题型：不详难度：来源：

已知向量m=(2cosα，2sinα)，n=(2sinβ，2cosβ)，|m+n|=

8 5

5

．
（Ⅰ）求sin（α+β）的值；
（Ⅱ）设0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，cosβ=

12

13

，求cosα的值．

答案

（Ⅰ）∵m+n=（2cosα+2sinβ，2sinα+2cosβ），
∴|m+n|=2

(cosα+sinβ)2+(sinα+cosβ)2

=2

2+2sin(α+β)

．
∴2

2+2sin(α+β)

=

8 5

5

．
∴sin(α+β)=

3

5

；
（Ⅱ）∵0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，
∴-

π

2

＜α+β＜

π

2

．
又∵sin(α+β)=

3

5

，∴sinβ=-

5

13

，cos（α+β）=

4

5

∵α=（α+β）-β，
∴cosα=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．