题目

题型：不详难度：来源：

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）=

1

2

+log2

x

1-x

图象上任意两点，且

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)，已知点M的横坐标为

1

2

．
（1）求点M的纵坐标；
（2）若Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*且n≥2，
①求S_n；
②已知

1

12

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n≤λ（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求λ的最小正整数值．

答案

（1）依题意由

OM

=

1

2

(

OA

+

OB

)知M为线段AB的中点．
又∵M的横坐标为

1

2

，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）即

x1+x2

2

=

1

2

⇒x1+x2=1
∴y1+y2=1+log2(

x1

1-x1

•

x2

1-x2

)=1+log21=1⇒

y1+y2

2

=

1

2

即M点的纵坐标为定值

1

2

．
 （2）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
又∵n≥2时Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)
∴Sn=f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+••+f(

1

n

)
两式想加得，2S_n=n-1
Sn=

n-1

2

②当n≥2时，an=

1

(Sn+1)(Sn+1+1)

=

4

(n+1)(n+2)

=4（

1

n+1

-

1

n+2

）
又n=1时，a₁=

2

3

也适合．
∴a_n=4（

1

n+1

-

1

n+2

）                                                                                     
∴Tn=

4

2×3

+

4

3×4

++

4

(n+1)(n+2)

=4(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n+1

-

1

n+2

)=4(

1

2

-

1

n+2

)=

2n

n+2

(n∈N*)
由

2n

n+2

≤λ(

n

2

+1)恒成立(n∈N*)⇒λ≥

4n

n2+4n+4

而

4n

n2+4n+4

=

4

n+ 4 n +4

≤

4

4+4

=

1

2

（当且仅当n=2取等号）
∴λ≥

1

2

，∴λ的最小正整数为1．