题目

题型：不详难度：来源：

证明：“0≤a≤

1

6

”是“函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．

答案

当a=0时，f（x）=ax²+2（a-1）x+2=-2x+2，此时函数在定义域上单调递减，所以满足条件．

当a≠0时，要使函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数，
则有

a＞0 - 2(a-1) 2a ≥4

，即

a＞0 a≤ 1 5

，所以0≤a≤

1

5

，
综上满足函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数的等价条件是0≤a≤

1

5

．
所以：“0≤a≤

1

6

”是“0≤a≤

1

5

”成立的充分不必要条件，
即：“0≤a≤

1

6

”是“函数f（x）=ax²+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．