题目

题型：不详难度：来源：

证明二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的两个零点在点（m，0）的两侧的充要条件是af（m）＜0．

答案

充分性：设△=b²-4ac≤0则af（x）=a²x²+abx+ac=a²（x+

b

2a

）²-

b2

4

+ac=a²（x+

b

2a

）²-

1

4

（b²-4ac）≥0，
所以af（m）≥0，这与af（m）＜0矛盾，即b²-4ac＞0．
故二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）有两个不等的零点，设为x₁，x₂，且x₁＜x₂，从而f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
af（m）=a²（m-x₁）（m-x₂）＜0，所以x₁＜m＜x₂．
必要性：设x₁，x₂是方程的两个零点，且x＜x₂，由题意知x₁＜m＜x₂，
因为f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），且x₁＜m＜x₂．
∴af（m）=a²（m-x₁）（m-x₂）＜0，即af（m）＜0．
综上所述，二次函数f（x）的两个零点在点（m，0）的两侧的充要条件是af（m）＜0．